Wellenfunktionsverhalten

Die Wellenfunktion ψ(r,t) beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems. Sie ist eine komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude; die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden des Teilchens an Ort r zu Zeitpunkt t ist P(r,t)=|ψ(r,t)|^2. Die Wellenfunktion muss normalisiert sein, so dass ∫|ψ|^2 dr = 1 für ein abgeschlossenes System.

Die zeitliche Entwicklung folgt der Schrödinger-Gleichung iħ ∂ψ/∂t = H ψ, wobei H der Hamiltonoperator ist, typischerweise H = p^2/2m + V(r). Die Lösung ist unitär und erhält die Norm der Wellenfunktion; die Zeitentwicklung ist durch die Hamilton'sche Zeitentwicklung U(t)=exp(-iHt/ħ) gegeben. Randbedingungen bestimmen die konkreten Lösungen (z. B. Orbitalzustände in einem Potenzial).

Durch Linearität der Schrödinger-Gleichung erlaubt die Wellenfunktion Überlagerungen: ψ = ∑ c_k ψ_k. Dadurch entstehen Interferenz- und Beugungsmuster. Lokalisierte Zustände lassen sich als Wellenpaket darstellen; ihr Mittelpunkt bewegt sich mit der Gruppen- bzw. Phasengeschwindigkeit und die Breite des Pakets verbreitert sich mit der Zeit (Dispersion).

Bei Messungen verändert sich der Zustand gemäß der Born-Regel: Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Messergebnis zu erhalten, ist proportional zu |ψ|^2. Nach einer Messung kollabiert die Wellenfunktion in den entsprechenden Eigenzustand, und die Weiterentwicklung setzt sich mit der neuen Anfangsbedingung fort.

Stationäre Zustände, z. B. Eigenzustände des Hamiltonoperators, tragen nur eine zeitabhängige Phasenfaktor, ψ_n(r,t)=φ_n(r) e^{-iE_n t/ħ}. Randbedingungen führen zu Tunneln in Barrieren, wobei ψ auch in klassisch verbotenen Bereichen nicht verschwindet, sondern exponentiell abnimmt.

Die Interaktion mit der Umwelt führt zu Dekohärenz, wodurch Quantenkohärenz verschwindet und sich klassische Resultate ergeben, ohne dass die Schrödinger-Gleichung selbst verletzt wird.