Weibullverdeling

Weibullverdeling is een continue kansverdeling die veel wordt toegepast in betrouwbaarheid, levensduurdata en sequentieanalyse. De verdeling wordt gekenmerkt door twee positieve parameters: vormparamater k (ook wel shape) en schaalparameter λ (ook wel scale). De kansdichtheidsfunctie is f(x; λ, k) = (k/λ) (x/λ)^(k-1) exp(-(x/λ)^k) voor x ≥ 0, en f(x; λ, k) = 0 voor x < 0. De cumulatieve verdelingsfunctie is F(x) = 1 - exp(-(x/λ)^k). De overlevingsfunctie is S(x) = exp(-(x/λ)^k).

Belangrijke momenten: de verwachtingswaarde is E[X] = λ Γ(1 + 1/k) en de variantie is Var(X) = λ^2 [Γ(1 + 2/k) - Γ(1 + 1/k)^2], waarbij Γ de gammafunctie is. De mediaan bedraagt λ (ln 2)^{1/k}. De modus is x_mode = λ ((k - 1)/k)^{1/k} voor k > 1; bij k ≤ 1 ligt de modus op 0.

Interpretatie van de vormparameter: k bepaalt het gedrag van de hazard rate (faal-snelheidsfunctie). Voor k < 1 daalt de hazard rate, voor k = 1 is deze constant (exponentieel), en voor k > 1 stijgt de hazard rate na verloop van tijd. De schaalparameter λ bepaalt de spreiding langs de x-as.

Relaties en toepassingen: de exponentialverdeling is een speciale vorm bij k = 1. Bij k = 2 heeft de Weibull een vorm die overeenkomt met een Rayleigh-verdeling onder een zekere parameterisering. Parameter-schattingen gebeuren meestal via maximale waarschijnlijkheid of methode van momenten. De Weibull wordt veel gebruikt in betrouwbaarheid, fatigue life, materiaalsterkte, windenergie en hydrologie.