Verteilungsmaßen

Verteilungsmaße sind Kenngrößen, die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder deren Stichprobenverteilung charakterisieren. Sie fassen zentrale Eigenschaften der Verteilung zusammen und ermöglichen Beschreiben, Vergleichen und Modellieren von Daten. Grundsätzlich unterscheidet man theoretische Größen der Verteilung (Populationsmaße) von aus Stichproben geschätzten Größen (Stichprobenmaße).

Zu den wichtigsten Verteilungsmaßen gehören Lage-, Streuungs- und Formmaße. Lagemaße beschreiben die zentrale Tendenz, z. B. der Erwartungswert μ, der Median und der Modus. Streuungsmaße beschreiben die Verbreitung der Werte, z. B. Varianz σ^2, Standardabweichung σ sowie der Interquartilsabstand (IQR) und die Spannweite. Formmaße fassen die Gestalt der Verteilung zusammen: Schiefe (Skewness) misst Asymmetrie, Wölbung (Kurtosis) die Konzentration der Werte im Zentrum gegenüber der Normalverteilung. Zudem werden Quantile wie Median, Quartile oder Perzentile als robuste Beschreibungen der Verteilungslage genutzt.

Zur Schätzung von Verteilungsmaßen aus Stichproben verwendet man typischerweise klassische Schätzverfahren: Der Stichprobenmittelwert als Schätzer für μ, die Stichprobenvarianz als Schätzer für σ^2, und der Median bzw. der IQR als robuste Schätzer für zentrale Tendenz bzw. Streuung. Weitere Maße beruhen auf Momenten oder Cumulants oder sind distributionsspezifisch.

Verteilungsmaße dienen in der deskriptiven Statistik der Datenbeschreibung, in der Inferenz der Parameterschätzung, in der Modellvalidierung und im Vergleich von Verteilungen. Sie sind Grundbausteine vieler statistischer Methoden und helfen, Muster in Daten zu erkennen und Modelle zu bewerten.