Verteilungsgleichheit

Verteilungsgleichheit bezeichnet in der Stochastik die Eigenschaft, dass zwei Zufallsvariablen dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen. Formal bedeutet dies, dass die Verteilungsfunktionen F_X und F_Y identisch sind; X und Y haben damit dieselbe Verteilung. Die Variablen müssen dabei nicht unabhängig sein; die Verteilungsgleichheit bezieht sich ausschließlich auf die Verteilung, nicht auf die Abhängigkeiten zwischen ihnen. In der Regel spricht man von identisch verteilten Zufallsvariablen, wenn X und Y dieselbe Verteilung F haben, was man auch schreibt X ~ F und Y ~ F.

Beispiele: Wären X und Y jeweils normalverteilt mit demselben Mittelwert und gleicher Varianz, dann erfüllen sie Verteilungsgleichheit. Ebenso können zwei Messreihen dieselbe Verteilung reflektieren, auch wenn die konkreten Beobachtungen verschieden sind.

Anwendungen: In der Statistik spielt Verteilungsgleichheit eine zentrale Rolle beim Vergleich von Verteilungen. Nullhypothese ist häufig F_X = F_Y. Zwei-Stichproben-Tests wie der Kolmogorov-Smirnov-Test prüfen dies auf nichtparametrische Weise. Graphische Verfahren (Q-Q-Plots) und Abstandsmaße (Kolmogorov-Smirnov-Distanz, Cramér-von Mises, Wasserstein) dienen der Quantifizierung der Abweichung.

Bezug: Verteilungsgleichheit ist grundlegend für Modelle, in denen man annimmt, dass Stichproben aus derselben Verteilung stammen. Sie ist eng verbunden mit dem Begriff der identisch verteilten Variablen und unterscheidet sich von der Annahme der Unabhängigkeit.