Verteilungsfolgen

Verteilungsfolgen bezeichnen in der Wahrscheinlichkeitslehre Folgen von Verteilungsfunktionen F_n, also Funktionen F_n: R → [0,1]. Eine Verteilungsfunktion ist monotone nicht fallend, rechtsstetig und erfüllt lim_{x→-∞} F_n(x) = 0 sowie lim_{x→+∞} F_n(x) = 1. Die Folge F_n beschreibt die Verteilung einer Folge von Zufallsvariablen bzw. die Verteilung einer Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Konvergenz einer Verteilungsfolge bedeutet, dass F_n gegen eine Grenzverteilungsfunktion F konvergiert, wenn für alle Punkte x, an denen F stetig ist, der Grenzwert lim_n F_n(x) = F(x) gilt. Diese Form der Konvergenz wird Verteilungskonvergenz oder schwache Konvergenz der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaße genannt. An Sprungstellen von F kann die Konvergenz scheitern.

Wichtige Äquivalenzen und Theoreme: Mit dem Portmanteau-Theorem lassen sich verschiedene Formulierungen der Verteilungskonvergenz verbinden. Unter der Annahme existieren oft Skorokhod-Repräsentationen, die eine fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen mit gegebener Verteilung ermöglichen. Die Konvergenz der Verteilungsfunktionen entspricht der schwachen Konvergenz der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaße.

Beispiele und Anwendungen: Die empirische Verteilungsfunktion F_n aus Stichproben X_1,...,X_n ist ein typisches Beispiel einer Verteilungsfolge. Der Glivenko-Cantelli-Satz besagt, dass F_n fast sicher gleich der wahren Verteilungsfunktion F ist, gemessen durch sup_x |F_n(x) - F(x)| → 0. In der Statistik dient Verteilungskonvergenz der Herleitung asymptotischer Ergebnisse (Hypothesentests, Konfidenzintervalle, Zentraler Grenzwertsatz).

Zusammenfassung: Verteilungsfolgen liefern das formale Gerüst zur Untersuchung, wie sich Verteilungen von Zufallsvariablen oder von Wahrscheinlichkeitsmaßen in der Folge ändern. Sie bilden eine zentrale Grundlage der Theorie der schwachen Konvergenz, der empirischen Prozesse und der asymptotischen Statistik.