Verteilbereiche

Verteilbereiche, auch als Stützbereiche einer Verteilung bezeichnet, bezeichnen in der Wahrscheinlichkeitstheorie den Teil des Wertebereichs, in dem eine Zufallsgröße X Ergebnisse mit positivem Wahrscheinlichkeitsmaß annehmen kann. Formal wird der Verteilbereich als die Menge definiert, auf der die Verteilung der Zufallsgröße nicht verschwindet.

Bei diskreten Verteilungen entspricht der Verteilbereich S der Menge aller Werte x mit P(X = x) > 0. Bei stetigen Verteilungen wird der Verteilbereich oft als der Stützbereich der Wahrscheinlichkeitsdichte f_X beschrieben, also die kleinste abgeschlossene Menge, auf der f_X(x) > 0 (die meisten Quellen sprechen von der Closure des Sets, in dem die Dichte positiv ist). Der Verteilbereich einer Verteilung kann auch mehrere Teilbereiche umfassen, insbesondere bei Verteilungen, die auf mehreren Intervallen definiert sind.

Beispiele verdeutlichen die Bandbreite der Verteilbereiche: Eine Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] hat den Verteilbereich [a, b]. Die Normalverteilung mit unbeschränkter Unterstützung hat den Verteilbereich ganz R. Die Exponentialverteilung mit Parameter λ hat den Verteilbereich [0, ∞). Trunkierte Verteilungen besitzen Verteilbereiche, die einem eingeschränkten Intervall entsprechen.

Der Verteilbereich ist hilfreich für Modellierung, Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten und Varianzen, sowie für Integrationen und Simulationen. Er gibt an, welche Werterealisationen möglich sind, und beeinflusst, wie Verteilungen charakterisiert und interpretiert werden. In mehrdimensionalen Situationen liegt der Verteilbereich im entsprechenden Raum (z. B. R^n) und bildet dort die Menge möglicher Werte der Zufallsvariablen ab.