Unkorreliertheitsbedingungen

Unkorreliertheitsbedingungen bezeichnen Annahmen über die Korrelation von Zufallsvariablen, nach denen bestimmte Paare oder Gruppen von Variablen unkorreliert zueinander sind. Formal bedeutet Unkorreliertheit, dass die Kovarianz zweier Variablen Xi und Xj (mit i ≠ j) gleich Null ist. Für Vektoren X = (X1, ..., Xn) bedeutet dies, dass die Kovarianzmatrix Cov(X) diagonal ist, also Cov(Xi, Xj) = 0 für alle i ≠ j.

Unkorreliertheit führt zu bestimmten Vereinfachungen, ist jedoch keine Allgemeingültigkeit der Abhängigkeit. Insbesondere gilt: Xi und Xj unkorreliert ⇒ E[(Xi − E[Xi])(Xj − E[Xj])] = 0, äquivalent zu E[Xi Xj] = E[Xi] E[Xj]. Aber Unkorreliertheit impliziert nicht Unabhängigkeit; von Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit, aber das Umgekehrte nicht. Ein bekanntes Gegenbeispiel: X sei Standardnormal, Y = X^2 − 1; dann sind X und Y unkorreliert, aber nicht unabhängig. Bei einer multivariaten Normalverteilung bedeutet Unkorreliertheit jedoch Unabhängigkeit aller linearen Kovarianz-Beziehungen.

Anwendungen finden sich in der Zeitreihen- und Regressionsanalyse. In der Zeitreihe spricht man von unkorrelierten Fehlern oder Rauschprozessen, wenn E[εt εs] = 0 für t ≠ s gilt; zusätzlich spricht man von White Noise, wenn Var(εt) konstant ist. In der linearen Regression erfordern die klassischen Schätztheorien oft, dass die Fehler unkorreliert mit den Regressoren bzw. untereinander sind oder exogen gegeben sind, damit OLS-Betawerte effizient und unverzerrt bleiben (Gauss-Markov unter weiteren Annahmen).

Zusammengefasst bilden Unkorreliertheitsbedingungen eine zentrale, aber begrenzte Annahme zur Vereinfachung statistischer Modelle, die Klarheit über Abhängigkeiten schafft, jedoch Unabhängigkeit nicht ersetzt.