unkorrelierten

Unkorreliertheit beschreibt in der Statistik den Zustand zweier Zufallsvariablen X und Y, bei dem die Kovarianz Cov(X,Y) gleich null ist. Formal gilt Cov(X,Y) = E[(X − E[X])(Y − E[Y])] = 0. Die lineare Beziehung zwischen X und Y wird oft durch den Pearson-Korrelationskoeffizienten r gemessen, der r = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y ist. Ist Cov(X,Y) null, folgt daraus, dass r = 0; umgekehrt muss r nicht unbedingt null sein, wenn Cov(X,Y) nicht exakt null ist.

Zusammenhang mit Unabhängigkeit: Unkorreliertheit bedeutet nicht notwendigerweise Unabhängigkeit. Unabhängige Zufallsvariablen haben stets Kovarianz null, aber null Kovarianz impliziert keine Unabhängigkeit im Allgemeinen. Ein bekanntes Gegenbeispiel ist X gleich verteilt auf [-1,1] und Y = X^2, woraus Cov(X,Y) = 0 folgt, Y aber eindeutig von X abhängt. Bei einer Normalverteilung gilt jedoch: Ist X und Y gemeinsam normal und unkorreliert, dann sind sie unabhängig.

Mehrere Variablen: Unkorreliertheit kann sich auf mehrere Variablen erstrecken, sodass die Kovarianzmatrix diagonal ist und die Variablen zueinander unkorreliert sind. In der Praxis werden Daten oft durch eine Whitening-Transformation so transformiert, dass die Komponenten unkorreliert sind, etwa als Vorstufe für Verfahren wie die Hauptkomponentenanalyse (PCA).

Anwendungen: Unkorreliertheit wird in der Datenvorverarbeitung, der linearen Regression, Signalverarbeitung und Zeitreihenanalyse genutzt. Sie erleichtert Modelle und Interpretation, da lineare Zusammenhänge zwischen Variablen reduziert werden.

Einschränkungen: Unkorreliertheit erfasst nur lineare Beziehungen; nichtlineare Abhängigkeiten bleiben unbemerkt. Stichprobenbezogene Schätzungen des Korrelationskoeffizienten r benötigen Tests, Konfidenzintervalle und Annahmen zur Verteilung der Daten.