Ungleichungsbeschränkungen

Ungleichungsbeschränkungen bezeichnen in der Mathematik und Optimierung Bedingungen, die einer Variablen- oder Parametersammlung durch Ungleichungen auferlegt werden. Typischerweise haben sie die Form g_i(x) ≤ 0, wobei g_i eher lineare oder nichtlineare Funktionen sein können, und i läuft von 1 bis m. Oft kommen zusätzlich Gleichheitsbeschränkungen h_j(x) = 0 vor. Die Gesamtheit der zulässigen Punkte wird als zulässige Menge oder Feasible-Set bezeichnet.

Lineare Ungleichungen sind von der Form a_i^T x + b_i ≤ 0 und führen zu polyhedralen zulässigen Mengen wie Halbebenen oder deren Schnittmengen. Nichtlineare Ungleichungen können allgemein differenzierbare Funktionen g_i sein; hier ergeben sich oft gekrümmte oder komplizierte Feasible-Sets. Die Einhaltung aller Ungleichungen definiert eine Teilmenge des Gesamtraums, innerhalb derer Optimierungsaufgaben gelöst werden.

In Optimierungsproblemen nimmt man häufig eine Zielgröße f(x) und minimiert oder maximiert sie unter den Ungleichungs- und Gleichheitsbeschränkungen. Wenn alle g_i konvexe Funktionen sind, ergibt sich durch die Sublevel-Sets {x | g_i(x) ≤ 0} eine konvexe zulässige Menge, was die Suche nach globalen Optima erleichtert. Gleichheitsbeschränkungen legen weitere Struktur fest.

Lösungsmethoden umfassen Lagrange-Multiplikatoren mit den KKT-Bern, die notwendige Bedingungen für Optimalität liefern, insbesondere unter Regularitätsvoraussetzungen. Weitere Ansätze sind Penalty-, Barrier- oder Augmentierte-Lagrange-Methoden sowie duale Formulierungen.

Beispiele: Minimierung von f(x) = x1^2 + x2^2 subject to x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 und x1 + x2 ≤ 1 führt das Optimum bei (0,0) mit minimalem Wert 0. Ungleichungsbeschränkungen sind zentral in Bereichen wie Operations Research, Wirtschaft, Ingenieurwesen und maschinellem Lernen.