TranslationsSymmetrie

Translationssymmetrie bezeichnet die Invarianz eines physikalischen Systems oder einer Theorie gegenüber räumlichen Verschiebungen. Formal bleibt die Lagrange- oder Hamilton-Funktion unverändert, wenn der Ort um einen Vektor a verschoben wird. Für Felder bedeutet dies, dass die Felder unter einer Verschiebung φ(x) → φ(x+a) transformieren, ohne dass sich beobachtbare Größen ändern. In der Quantenmechanik wird die Verschiebung durch einen Translationsoperator U(a) realisiert, der das Zustandprofil entsprechend verschiebt.

Eine zentrale Folge der Translationssymmetrie ist die Erhaltung des Impulses. Nach Noether gilt: Die Kontinuität der Raumstruktur führt zur Impulserhaltung; der Gesamtimpuls bleibt konstant. Mathematisch bedeutet Translation invariantes H, dass H mit dem Translationsoperator U(a) kommutiert: [H, U(a)] = 0, wodurch P als Generator der Verschiebung entsteht. Im Quantenbild besitzt U(a) die Form e^{i a·P}, und Zustände können mit dem Impulsvektor bezeichnet werden.

Im kontinuierlichen Raum ist Translation kontinuierlich; in kristallinen Stoffen ist die Symmetrie jedoch nur diskret, d.h. die Gruppe der Translationen besteht aus Verschiebungen um Gittervektoren R. Hier gilt Blochs Theorem: Wellenfunktionen haben die Form ψ_k(r) = e^{i k·r}u_k(r) mit der Periode u_k(r+R) = u_k(r). Daraus ergeben sich Bandstrukturen und Brillouin-Zonen; die Dispersionsrelation E(k) spiegelt die räumliche Wiederholungsordnung wider.

Spontane Bruch der Translationssymmetrie führt zu periodischen Strukturen wie Kristallen oder Phasen mit modulierter Ordnung. In der Quantenfeldtheorie und der statistischen Mechanik ist Translationsinvarianz eine Grundannahme der Homogenität des Raums, wodurch Korrelationsfunktionen nur von der relativen Distanz abhängen und Transportphänomene wie Impuls- oder Energiefluss bestimmt werden.