Gittervektoren

Gittervektoren sind Vektoren, mit denen sich ein Gitter oder Bravais-Gitter im euklidischen Raum beschreiben lässt. In der Regel spricht man von einem Gitter L ⊂ R^n, das durch eine endliche Menge primitiver Vektoren a1, a2, ..., an erzeugt wird. Jedes Gitter lässt sich als ganzzahlige Linearkombination dieser Vektoren schreiben: L = { n1 a1 + n2 a2 + ... + nn an | ni ∈ Z }. Die a_i bilden dabei eine Basis des Gitters, und der Raum wird durch Translationen dieser Basis vollständig ausgefüllt.

Der Satz primitiver Vektoren ist nicht eindeutig: Verschiedene Basen, die durch eine unimodulare lineare Transformation aus Z^n in Z^n miteinander verwandt sind, erzeugen dasselbe Gitter. Die Struktur des Gitters wird durch die Matrix A beschrieben, deren Spalten die a_i sind; die Gram-Matrix G = A^T A enthält die Längen der Vektoren und die Winkel zueinander.

Gitter dienen als diskrete Untergruppen des R^n und spielen eine zentrale Rolle in Kristallographie, Zahlentheorie und Festkörperphysik. Ein wichtiger Begriff ist die primitive Zelle: das kleinste Wahlrechte, dessen Translationen das Gitter erzeugen. Die Gittervektoren bestimmen Abstände, Winkeln und das Bravais-Gitter, das eine Kristallstruktur beschreibt.

Das Konzept der rezipplen Gittervektoren ist eng verbunden: der reziproke Gitter L* besteht aus Vektoren g, die g·a_i = 2π δ_ij erfüllen. Diese Vektoren sind wesentlich für Beugung, Diffraction-Experimente und die Analyse von Raumgruppen.

Beispiele: In 2D ein quadratisches Gitter mit a1 = (a, 0), a2 = (0, a); in der hexagonalen Anordnung zwei Vektoren mit einem Winkel von 60 Grad. Gittervektoren sind damit zentrale Bausteine vieler wissenschaftlicher Modelle.