Tidsmedelvärde

Tidsmedelvärde, eller tidsmedel, är ett mått på hur ett tidsberoende variabel beter sig i genomsnitt över tid. Det används för att beskriva långsiktig eller typisk nivå i en signal eller process och är särskilt viktigt när data uppvisar variation eller fluktuationer över tid.

För kontinuerliga funktioner x(t) definieras tidsmedelvärdet över intervallet [t0, t0+T] som

(1/T) ∫_{t0}^{t0+T} x(t) dt.

Om gränsen T → ∞ existerar och är konstant, betecknas detta som det långsiktiga tidsmedelvärdet: lim_{T→∞} (1/T) ∫ x(t) dt.

För diskreta tidsserier, där värdena är x_k vid tidpunkter kΔt med N prover, är tidsmedelvärdet (1/N) ∑_{k=1}^{N} x_k. I praktiken används ofta ett avgränsat fönster med storlek T eller antal prover N som ett närmevärde.

Relation till andra begrepp: tidsmedelvärde skiljer sig från rums- eller ensemblemedelvärde. Under ergodiska förutsättningar kan tidsmedelvärdet över lång tid jämföras med ensemblemedelvärdet (fördelning över olika realizationsexperiment). Om systemet inte är ergodiskt kan dessa värden skilja sig åt.

Användningar och exempel: inom fysik används tidsmedelvärde för att beskriva långsiktiga egenskaper hos dynamiska system; i signalbehandling används det som grundläggande sanning om en signal eller som bas för filter och smidning; inom klimatvetenskap och ekonomi används tidsmedelvärden för att extrahera trender och analysera långsiktiga beteenden.

Praktiska kommentarer: val av fönsterstorlek eller antal prover påverkar noggrannheten och eventuella bias; icke-stationära signaler kan göra tidsmedelvärdet startkänsligt eller tidsberoende.