Teilchenbelegung

Teilchenbelegung beschreibt, wie viele Teilchen in einem gegebenen Quantenzustand oder Modus vorkommen. In der Zweiten-Quantisierung wird der Zustand eines vielteiligen Systems oft durch Belegungszahlen n_i beschrieben: ein Zustand |{n_i}> besitzt für jeden Modus i eine Belegung n_i, und die Gesamtteilchenzahl N ist die Summe über alle n_i. Die Operatoren a_i^\dagger und a_i erzeugen bzw. vernichten Teilchen in Modus i; der Zahloperator N_i = a_i^\dagger a_i hat als Eigenwerte n_i, wobei n_i allgemein 0,1,2,... sein kann. Für Bosonen sind beliebig viele Teilchen pro Modus möglich, während Fermionen dem Pauli-Ausschlussprinzip unterliegen und n_i höchstens 1 sein darf.

Belegung wird oft im Zusammenhang mit Verteilungen im thermischen Gleichgewicht betrachtet. Für Bosonen gilt die Bose-Einstein-Verteilung, für Fermionen die Fermi-Dirac-Verteilung; im klassischen Grenzfall entspricht die Belegung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Im Gran-Canonical-Ensemble bestimmt die mittlere Belegung ⟨n_i⟩ je Modus i durch die Temperatur, das chemische Potential μ und die Modusenergie ε_i. Allgemein lässt sich ⟨n_i⟩ = 1/(e^{β(ε_i − μ)} − η) schreiben, wobei η = −1 für Bosonen und η = +1 für Fermionen. Diese Formeln ermöglichen die Beschreibung von Teilchenzahlen und Fluktuationen in verschiedensten Systemen.

Die Belegungskonzepte erleichtern die Beschreibung vieler Teilchen, ohne individuelle Teilchenkoordinaten zu verfolgen. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Festkörperphysik, bei Quantentransportproblemen, der Quantenoptik sowie in der Theorie der Quantenfelder, wo Zustände oft durch Belegung in Fockräumen beschrieben werden.