Teilchenkoordinaten

Teilchenkoordinaten sind Variablen, die die Positionen der Teilchen in einem System eindeutig beschreiben. Sie bilden den Zustand im Konfigurationsraum ab und dienen als Grundlage formaler Modelle in klassischer und Quantenmechanik. Bei N Teilchen in drei Raumdimensionen ergeben sich typischerweise 3N Koordinaten, zum Beispiel die kartesischen Koordinaten x_i, y_i, z_i jedes Teilchens.

In vielen Anwendungen nutzt man allgemeine Koordinaten q_k, die durch Abhängigkeiten die Anzahl der Freiheitsgrade reduzieren. So entstehen reduzierte Koordinatensysteme wie Zentren der Masse, Relative Koordinaten oder Innenkoordinaten (Bindungslänge, Winkel, Diederwinkel) in Molekülsystemen. Die Wahl der Koordinaten beeinflusst die Form der dynamischen Gleichungen und die numerische Behandlung von Restriktionen.

In der klassischen Mechanik dienen die Teilchenkoordinaten dazu, den Lagrange-Formalismus zu verwenden. Der Lagrange-Funktion L = T − V hängt von den Koordinaten und ihren Zeitableitungen ab, und die Euler-Lagrange-Gleichungen liefern die Bewegungsgleichungen. Typische Beispiele sind die Trennung von Zentren der Masse und relativen Koordinaten in Zweikörper- oder mehrteiligen Systemen.

In der Quantenmechanik erscheinen Teilchenkoordinaten im Wellenfunktionsraum. Die mehrteilige Schrödinger-Gleichung wird in Koordinatenform ausgedrückt, wobei Symmetrisierungsvorgänge bei identischen Teilchen eine Rolle spielen. Die Wahl geeigneter Koordinaten erleichtert oft die Lösung oder Approximation des Problems.

Praktisch beeinflussen Koordinatensystem und Transformationsregeln die Form von T, V, die Randbedingungen sowie die Stabilität numerischer Simulationen. Koordinaten mit Singularitäten oder unklaren Grenzfällen erfordern besondere Behandlung.