Teichmüllertheorie

Teichmüller-Theorie ist die mathematische Untersuchung der Deformationen komplexer Strukturen auf einer gegebenen topologischen Fläche. Im Mittelpunkt steht der Teichmüller-Raum T(S), der den Raum markierter konformer (bzw. hyperbolischer) Strukturen auf S modulo Äquivalenz durch isotopie der Markierungen abbildet. Elemente können durch Äquivalenzklassen quasikonformer Abbildungen von einer Referenzfläche dargestellt werden; der Teichmüller-Abstand zweier Punkte ist der Logarithmus der minimalen quasikonformen Dilatation zwischen ihnen.

Für eine geschlossene Fläche des Geschlechts g ≥ 2 mit n Auspunktionen ist T(S) eine komplexe Mannigfaltigkeit von Dimension 3g−3+n. Sie ist kompaktionsfrei (contractibel) und trägt natürliche Metriken wie die Teichmüllermetrik und die Weil–Petersson-Metrik. Durch die Formulierung über das Uniformisierungstheorem lässt sich jeder komplexe Struktur mit einer hyperbolischen Metrik versehen, wodurch T(S) auch als Parameterraum hyperbolischer Strukturen erscheint.

Die Mapping-Klasse-Gruppe Mod(S) wirkt auf T(S) durch Veränderung der Markierung; das Quotient T(S)/Mod(S) ist der Moduli-Raum M_{g,n} der Riemannflächen, ein Orbifold gleicher komplexer Dimension. Eine zentrale Eigenschaft der Theorie ist die Verbindung zwischen Teichmüller-Geodäten undholomorphen quadratischen Differentielen; dies begründet den Teichmüller-Fluss und die Verbindung zu gemessenen Foliationen.

Anwendungen der Teichmüller-Theorie finden sich in der geometrischen Topologie, der algebraischen Geometrie und der mathematischen Physik, etwa bei der Untersuchung von Moduli von Kurven, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten und in der Stringtheorie. Die Theorie geht auf Teichmüller zurück (1930er Jahre) und wurde weiterentwickelt von Ahlfors, Bers und vielen anderen, und bildet heute einen zentralen Bestandteil der modernen Geometrie.