Tayloruitbreiding

Tayloruitbreiding, ook wel Taylorreeks genoemd, is een methode uit de analyse waarmee een functie in de buurt van een gekozen punt zo kan worden benaderd met een machtreeks. Voor een functie f die in een omgeving van het punt a viermaal differentieerbaar is, luidt de Tayloruitbreiding

f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)/2! (x−a)^2 + … + f^(n)(a)/n! (x−a)^n + R_n(x),

waar R_n(x) de restterm is. Als men steeds meer termen opneemt en de rest steeds kleiner wordt, spreken we van een exacte Taylorreeks; als a = 0 wordt dit een Maclaurinreeks genoemd.

Restterm en convergentie. De rest R_n(x) kan onder voorwaarden worden uitgedrukt met de Lagrange-restterm: R_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! (x−a)^(n+1) voor een ξ tussen a en x. Als f analytisch is, convergeert de oneindige som v.n. f(x) in een bepaald interval of op een bepaald domein en levert dan de exacte waarde van f(x).

Voorbeelden en toepassingen. De exponentiële functie heeft rondom elk a de uitdrukking f(x) = e^a sum_{k≥0} (x−a)^k/k!. Maclaurinreeks is de speciale vorm met a = 0: f(x) = sum f^(n)(0)/n! x^n. Toepassingen omvatten het geven van nauwkeurige benaderingen van functies, numerieke berekeningen, oplossen van differentiaalvergelijkingen en perturbatietheorie. Beperkingen zijn onder meer de vereiste differentiabiliteit en dat de reeks mogelijk niet overal convergeert of weinig bruikbaar is buiten de convergentieradius.