Subgroep

Subgroep is een term uit de wiskunde, in het bijzonder de groepentheorie. Een subgroep H van een groep G is een subset van G die zelf een groep vormt onder dezelfde bewerking als G.

Formeel: H is een subgroep van G, genoteerd als H ≤ G, als H de identiteit e van G bevat, gesloten is onder de bewerking (voor alle a, b in H geldt a·b in H), en gesloten is onder inversen (voor elk a in H geldt dat ook a^{-1} in H ligt). Een handige equivalentie is de subgroeps-test: H is een subgroep als H niet leeg is en voor alle a, b in H geldt dat a·b^{-1} in H.

Notatie en soorten: de hele groep G en de triviale subgroep {e} zijn voorbeelden van subgroepen; een ware subgroep is een subset die strikt kleiner is dan G. Voorbeelden: in het abelse groep (Z, +) vormen de even getallen een subgroep; in (R, +) is Z een subgroep; GL(n, R) bevat subgroepen zoals de orthogonale groep O(n).

Normaliteit en quotientgroepen: een subgroep N van G kan normaal zijn, genoteerd als N ⊲ G. Is N normaal, dan kun je de quotientgroep G/N vormen. De index [G:N] geeft het aantal cosets aan en speelt een belangrijke rol in de theorie van eindige groepen (Lagrange’s stelling).

Context en toepassingen: subgroepen vormen een fundamentele bouwsteen voor de structuur van groepen en komen voor in algebra, combinatoriek, symmetrie en representatietheorie. Ze helpen bij het classificeren van groepen en bij het bestuderen van hun acties op verzamelingen en ruimten.