Stichprobenmedian

Der Stichprobenmedian (Stichproben-Median) ist der Median einer Stichprobe X1,...,Xn. Sei X_(1) ≤ ... ≤ X_(n) die Ordnungstatistiken. Für ungerade n gilt M = X_((n+1)/2). Für gerade n gilt M = (X_(n/2) + X_(n/2+1))/2; alternative Konventionen verwenden X_(n/2) oder X_(n/2+1). Damit dient der Stichprobenmedian als robuster Schätzer des zentralen Lageparameters einer Verteilung.

Berechnung: Man sortiert die Beobachtungen oder verwendet Auswahlalgorithmen wie Quickselect, um die mittleren Rangstatistiken zu bestimmen. Eigenschaften: Der Median ist robust gegenüber Ausreißern; er besitzt einen Break-down-Punkt von 50 Prozent. Die asymptotische Varianz des Medians liegt bei 1/(4 n f(θ)^2), wobei f die Dichte der zugrunde liegenden Verteilung am Populationsmedian θ ist. Bei Normalverteilungen ist der Median etwa 64 Prozent so effizient wie der Mittelwert. Mit wachsendem Stichprobenumfang konvergiert der Stichprobenmedian gegen den Populationsmedian (Konsistenz).

Anwendungen: In der deskriptiven Statistik wird der Median bevorzugt, wenn Verteilungen schief oder Ausreißer vorhanden sind. In der Inferenz werden nichtparametrische Tests verwendet, die Mediane betreffen, etwa Mood's Median Test; der Median dient auch als robuste Lagegröße in Mediansregression und robusten Schätzverfahren.