Singularitäten

Singularitäten bezeichnet man in der Mathematik und Physik Punkte oder Zustände, an denen eine bisher übliche Struktur nicht mehr gültig ist. In der komplexen Analysis ist ein Singulärpunkt einer Funktion f an der Stelle a ein Punkt, in dessen Umgebung f zwar analytisch ist, aber nicht an der Stelle selbst; die Art der Singulität lässt sich über die Laurent-Reihe um a klassifizieren: entfernbare Singulität, Pole endlicher Ordnung und essentielle Singulität.

In der Algebraischen Geometrie bezeichnet man Punkte einer Varietät als Singulitäten, an denen die Struktur der Geometrie nicht glatt ist. Formal gilt: Der Rang der Jacobi-Matrix fällt unter die Dimension der Varietät. Beispiele sind Knoten, Überschneidungspunkte oder Klecker-Cusp. Singulitäten werden durch Auflösungen, Normalformen und Invarianten untersucht.

In der Differentialgeometrie und Physik treten Singulitäten in Raumzeiten auf, wo Krümmung oder andere Größen gegen Unendlich gehen. Häufige Beispiele sind kosmologische Singularitäten wie der Big Bang und zentrale Singularitäten in Schwarzen Löchern. Singularitätstheoreme von Penrose und Hawking liefern Bedingungen, unter denen Geodätiken in endliche Fokuszustände laufen; solche Theorien befinden sich im Schnittpunkt von Allgemeiner Relativitätstheorie und Kosmologie.

Weitere Bedeutungen treten in der Numerik und linearen Algebra auf: Eine Matrix ist singulär, wenn ihre Determinante Null ist, was Invertierbarkeit verhindert. In numerischen Methoden wird damit oft durch Regularisierung oder SVD umgegangen.

Der Begriff stammt vom lateinischen singularis ‚einzeln, einzigartig‘.