Sigmaaditividad

Sigmaaditividad, también llamada aditividad sigma, es una propiedad de una función de conjuntos μ definida sobre una σ-álgebra 𝔽 de subconjuntos de un conjunto X. Dicha propiedad establece que, para cualquier colección numerable de conjuntos disjuntos (A_i) en 𝔽, se cumple que μ(∪_i A_i) = ∑_i μ(A_i). En general, cuando μ toma valores en el conjunto de los números no negativos o en [0, ∞], se habla de aditividad contable o sigma-additiva.

La sigmaaditividad es el rasgo central que define a una medida. Una medida es una función μ: 𝔽 → [0, ∞] que satisface μ(∅) = 0 y la aditividad sigma para colecciones contables de conjuntos disjuntos. Esta propiedad distingue a las medidas de otras funciones de conjunto que solo son finitamente aditivas. Es fundamental para la integración y para la teoría de probabilidades, donde una medida de probabilidad es una medida con μ(X) = 1.

Consecuencias y usos: la sigmaaditividad implica continuidad de μ desde abajo y, en ciertas condiciones, desde arriba. Por ejemplo, si A_1 ⊆ A_2 ⊆ … y A = ∪_n A_n, entonces μ(A) = lim μ(A_n). Si A_n ↓ A y μ(A_1) < ∞, entonces μ(A_n) → μ(A). Ejemplos habituales de medidas sigma aditivas son la medida de Lebesgue, la medida de conteo y las medidas de probabilidad.

Variantes y contexto: existen conceptos relacionados como medidas sigma-finitas (X se puede cubrir por conjuntos de medida finita) y propiedades de regularidad. La sigmaaditividad es esencial para teoremas de convergencia y para definir integrales de manera coherente.

---