aditividad

La aditividad es una propiedad matemática que describe que el valor de una unión bien definida de objetos es igual a la suma de los valores de sus partes, cuando estas partes son disjuntas en el sentido relevante. En teoría de la medida y la probabilidad, la aditividad describe cómo se asignan valores a colecciones de objetos de forma coherente.

En teoría de la medida, una medida μ es aditiva si, para conjuntos A y B disjuntos, se cumple μ(A∪B) = μ(A) + μ(B). Si esto se extiende a una colección numerosa de conjuntos disjuntos {A_n}, se habla de aditividad numerable o sigma-adi­tividad: μ(∪_n A_n) = ∑_n μ(A_n). Las medidas deben además ser no negativas y, en el caso de muestreos, la medida total es 1, dando lugar a la probabilidad.

En álgebra y análisis, una función f es aditiva si satisface f(x+y) = f(x) + f(y) para todo x,y en su dominio. Las funciones aditivas cumplen la ecuación de Cauchy. Si, además, f(qx) = q f(x) para todo racional q, y se imponen condiciones de regularidad como continuidad, acotación o measurabilidad, entonces f es lineal.

Ejemplos: la medida de conteo, que asigna a un conjunto el número de elementos, es aditiva; la medida de Lebesgue es aditiva y, de forma más fuerte, sigma-aditiva. Las probabilidades son medidas con μ(Ω) = 1 y son sigma-aditivas.

La aditividad es fundamental para la coherencia de instrumentos como probabilidades, longitudes y volúmenes, y para estudiar funciones y transformaciones lineales.