Sannolikhetsmått

Sannolikhetsmått är ett centralt begrepp inom sannolikhetsteori. Ett sannolikhetsmått P på ett sannolikhetsrum (Ω, F) är en funktion P: F → [0, 1] som uppfyller tre villkor: P(Ω) = 1, P(∅) = 0 och σ-additivitet: för varje antal parvis disjunkta händelser A_i i F gäller P(∪_i A_i) = Σ_i P(A_i). Måttet beskriver hur sannolikheten fördelar sig över olika händelser i det slumpmässiga experimentet.

Sannolikhetsmått används också för att beskriva fördelningen av en slumpmässig variabel X. Om X: Ω → S är en mätbar funktion är fördelningen av X given av μ_X(B) = P(X ∈ B) för B i en lämplig σ-algebra på S. Om S är ℝ och P har densitet f i förhållande till Lebesgu-måttet λ, så är P(A) = ∫_A f dλ, där f ≥ 0 och ∫ f dλ = 1.

Exempel på sannolikhetsmått är diskreta mått på en mängd med finit antal element, där sannolikheterna för varje enskild utfallsresultat summerar till 1 (såsom ett kast med en rättvis tärning). Ett kontinuerligt exempel är sannolikhetsmått med en densitet, till exempel en normalfördelning med en lämplig densitet f.

Vanliga egenskaper och användningar inkluderar beräkning av förväntningar E[X] = ∫ X dP när X är integrerbar, samt konstruktion av nya mått via pushforward eller bildmått. Sannolikhetsmått utgör grunden för mycket av modern sannolikhetsteori och statistik.