sannolikhetsteori

Sannolikhetsteori är en gren av matematiken som studerar osäkerhet och hur sannolikheter uppträder i slumpmässiga fenomen. Den formaliseras ofta i ett sannolikhetsrum (Ω, F, P), där Ω är uppsättningen av möjliga utfall, F en σ-algebra av händelser och P ett sannolikhetsmått. En slumpvariabel X är en mätbar funktion X: Ω → ℝ. Fördelningen av X beskrivs av P(X ∈ B) eller den kumulativa fördelningen F_X(x) = P(X ≤ x).

Centrala begrepp är oberoende, villkorssannolikhet P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), förväntningsvärde E[X], varians Var(X), samt olika fördelningar och deras egenskaper. Viktiga regler inkluderar lagen om totalt sannolikhet, Bayes sats, samt konstruktioner av modeller med diskreta och kontinuerliga fördelningar.

Den moderna sannolikhetsteorin vilar på Kolmogorovs axiomer från 1933, som införde measureteori som grund. Det finns olika tolkningar av sannolikhet: frekventistisk (sannolikhet som långtidsfrekvens) och bayesisk (grad av tro som uppdateras med data). Viktiga teorem är satsarna om lagen om stora tal och den centrala gränssatsen, som beskriver hur summan av oberoende variabler blir ungefär normalfördelad när antalet observationer ökar.

Användningar finns inom statistik, riskhantering, finans, teknik, fysik och artificiell intelligens. Sannolikhetsteorin ger verktyg för modellering av osäkerhet, slutsatser från data och beslutsfattande under osäkerhet.