förväntningsvärde

Förväntningsvärde, eller förväntat värde, av en slumpvariabel X betecknas E[X] och är dess probabilistiska medelvärde i långsiktigt perspektiv. Det beskriver det genomsnitt man skulle förvänta sig om experimentet upprepades ett mycket stort antal gånger. För en diskret slumpvariabel som antar värdena x1, x2, … med sannolikheter p1, p2, … är förväntningsvärdet E[X] = Σ xi pi. För en kontinuerlig slumpvariabel med tätheten f(x) är E[X] = ∫ x f(x) dx, där integrationen tas över alla möjliga värden.

Väsentliga egenskaper: linearitet. För konstanter a och b gäller E[aX + b] = a E[X] + b och E[X + Y] = E[X] + E[Y]. Mer allmänt gäller E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y] för alla slumpvaribler X och Y och varje konstant a och b. Om X och Y är oberoende följer även E[XY] = E[X] E[Y]. Om X är icke-negativ nästan säkert följer E[X] ≥ 0.

Förväntningsvärdet används som ett mått på central tendens och beskriver medelvärdet av fördelningen. Det kan ligga mellan de olika värden slumpen kan anta och behöver inte vara något av dem. Exempel: en rättvis sexsidig tärning har E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. I praktiken används förväntningsvärdet inom riskbedömning, ekonomi, spelteori och beslutsfattande under osäkerhet.