Förväntningsvärdet

Förväntningsvärdet, ofta kallat förväntat värde eller medelvärde inom sannolikhetsteori, är ett mått på den centrala tendensen hos en slumpvariabel. Det beskriver den långsiktiga genomsnitt som uppkommer när ett experiment upprepas många gånger.

För en diskret slumpvariabel X med möjliga värden x_i och sannolikheter p_i är förväntningsvärdet definierat som E[X] = sum_i x_i p_i. För en kontinuerlig slumpvariabel med täthet f(x) är E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, under förutsättning att integralen konvergerar (dvs att E[|X|] är finite).

E[X] uppvisar linjära egenskaper: för alla konstanter a och b samt slumpvariabler X och Y gäller E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y]. Existerar E[X] kan man också använda E[g(X)] för andra funktioner g; i allmänhet gäller inte E[g(X)] = g(E[X]); Jensens ojämlikhet säger att om g är convex så är E[g(X)] ≥ g(E[X]), och om g är concave är det omvänt.

Relation till andra mått: Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2. Förväntningsvärdet kan därför ses som första momentet i fördelningen. Denna mängd kan beräknas direkt från sannolikhetsfunktionen eller tätheten.

Exempel: Vid en rättvis sexsidig tärning är E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. I en ekonomisk sammanhang kan E[X] representera den förväntade avkastningen av en investering.

Användning: Förväntningsvärdet används inom statistik, ekonomi och riskbedömning som grundläggande mått på den förväntade utkomsten i upprepade försök eller beslut.