Régularité

Régularité est un concept central en mathématiques qui qualifie le degré de douceur d’un objet, en particulier d’une fonction ou d’une solution d’une équation. Elle sert à classer les objets selon leur comportement: continuité, dérivabilité, et des notions plus fines de lissage. Sur le plan courant, on distingue plusieurs hiérarchies: la continuité; la dérivabilité d’un ordre donné (classée en C^k); la propriété d’être lisse (C^∞) ou analytique. On rencontre aussi les notions de régularité Hölder (C^{0,α}) et de régularité dans les espaces de Sobolev (W^{k,p}), qui mesurent la régularité en moyenne.

Exemples: les polynômes et les fonctions exponentielles sont C^∞; la fonction valeur absolue est continue mais non dérivable en 0; la fonction x|x| est C^1 mais pas C^2. Le choix du cadre de régularité dépend du problème: on étudie souvent la régularité locale (dans un voisinage d’un point) ou globale sur un domaine.

En analyse des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, la régularité des solutions dépend de la régularité des données et des opérateurs. Des résultats typiques montrent que, sous des hypothèses adéquates, des solutions faibles gagnent une dérivabilité supplémentaire; des théorèmes de régularité elliptique ou parabolique, et des résultats comme ceux de De Giorgi–Nash–Moser, garantissent dans certains contextes une régularité Hölder.

La notion s’applique aussi hors des mathématiques pures: régularité peut désigner la constance ou la régularité des gestes et des rythmes dans des contextes pratiques.