théorèmes

Un théorème est une proposition mathématique démontrable à partir d’un ensemble d’axiomes et de résultats déjà établis. Sa validité dépend d’une démonstration logique qui relie les hypothèses à la conclusion. Dans une théorie donnée, un énoncé devient théorème lorsque la démonstration est acceptée par la communauté mathématique.

La démonstration est une chaîne de raisonnements qui part des axiomes et des théorèmes établis pour établir une conclusion de manière nécessaire. Elle peut être constructive ou non constructive et emploie diverses techniques, comme la preuve directe, la preuve par contradiction ou l’induction.

Des exemples célèbres incluent le théorème de Pythagore, selon lequel, dans un triangle rectangle, a^2+b^2=c^2. Le théorème fondamental du calcul relie dérivation et intégration. Des théorèmes plus récents, comme le dernier théorème de Fermat, montrent qu’il n’existe pas d’entiers positifs a,b,c et n>2 tels que a^n+b^n=c^n.

Au sens large, on distingue le théorème des notions associées: une démonstration est l’argument qui prouve le théorème; un lemme est un résultat auxiliaire utile dans une démonstration; un corollaire est une conséquence immédiate; une conjecture est un énoncé supposé vrai mais non encore démontré.