Rotatiemethoden

Rotatiemethoden sind numerische Verfahren der linearen Algebra, die orthogonale Rotationen verwenden, um eine Matrix schrittweise in eine einfachere Form zu überführen. Typische Ziele sind die Diagonalisierung symmetrischer Matrizen oder die Reduktion auf eine obere Dreiecksmatrix. Die durch Rotationen erzeugten Transformationsmatrizen sind orthogonal und erhalten damit die Eigenwerte der Matrix sowie die numerische Stabilität der Berechnungen.

Zu den zentralen Techniken gehören der Jacobi-Algorithmus und Givens-Rotationen. Der Jacobi-Algorithmus verwendet sukzessive Rotationen in Ebenen, die durch Indizes i und j definiert sind, um Off-Diagonal-Elemente zu eliminieren und eine Diagonalmatrix zu erzeugen; deren Diagonalenelemente entsprechen den Eigenwerten der Ausgangsmatrix. Givens-Rotationen sind planare Rotationen in der Ebene der Indizes i und j, die gezielt ein einzelnes Off-Diagonal-Element auf Null setzen. Sie dienen als Bausteine des Jacobi-Verfahrens und finden auch in der QR-Zerlegung breite Anwendung.

Die QR-Zerlegung lässt sich vollständig mittels Givens-Rotationen durchführen: Durch das Produkt der Rotationen entsteht Q^T A = R, wobei R eine obere Dreiecksmatrix ist. Dieses Verfahren ist numerisch stabil und besonders geeignet für großteils spärliche oder schmalere Matrizen sowie für Online- oder Update-Anwendungen.

Anwendungen der Rotatiemethoden liegen vor allem in der Lösung von Eigenwertproblemen, der Bestimmung der Singulärwertzerlegung (SVD) im Jacobi-Stil sowie in der Lösung linearer Gleichungssysteme. Rotationen bewahren die 2-Norm und liefern gute Fehlertoleranzen; die Konvergenz hängt von der Struktur der Matrix ab, insbesondere Symmetrie und Sparsamkeit.