Diagonalenelemente

Diagonalenelemente bezeichnet man in der linearen Algebra die Elemente auf der Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix. Für eine n×n-Matrix A mit Einträgen aij liegen die Diagonalenelemente auf den Positionen (i, i), also a11, a22, ..., ann. Die Folge dieser Werte bildet die Hauptdiagonale von A.

In einer Diagonalmatrix diag(d1, ..., dn) befinden sich die Diagonalenelemente genau dort, während alle anderen Einträge Null sind. Solche Matrizen sind in vielen Kontexten besonders einfach zu behandeln, etwa bei Matrixmultiplikationen oder der Bestimmung von Eigenwerten, da sich viele Operationen auf die Diagonalenelemente reduzieren.

Wichtige Eigenschaften sind:

- Die Spur einer Matrix, also die Summe der Diagonalenelemente, ist definiert als tr(A) = ∑i aii.

- Für eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix entspricht die Determinante dem Produkt der Diagonalenelemente.

- Die Eigenwerte einer Matrix sind die Diagonaleinträge der Diagonalform einer Matrix, die zu A Äquivalent ist. Sind A und D mittels einer Ähnlichkeitstransformation zueinander äquivalent und D diagonal, dann entsprechen die Diagonalenelemente von D den Eigenwerten von A. Allgemein sind die Diagonalenelemente von A selbst keine Eig Werte, da sie unter Basiswechseln verloren gehen können.

Anwendungen finden sich in der numerischen linearen Algebra, beim Speichern von Matrizen (speziell Diagonal- und Spitzenspeicher) sowie bei Analysen von Eigenschaften wie Spur und Determinante. Beispiel: Für A = [[4, 2, 0], [0, 3, 5], [0, 0, 1]] lauten die Diagonalenelemente 4, 3 und 1; die Spur ist 8 und die Matrix hat eine einfache Struktur durch die Null-Einträge ober- bzw. unterhalb der Diagonalen.