Matrixmultiplikationen

Die Matrixmultiplikation ist eine grundlegende Operation der linearen Algebra, die zwei Matrizen zu einer neuen Matrix verknüpft. Sei A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix; dann ist AB eine m×p-Matrix. Die Einträge des Produkts ergeben sich durch Summation über die gemeinsamen Dimensionen: (AB)_{ij} = Σ_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.

Die Multiplikation ist definiert, wenn die inneren Dimensionen übereinstimmen; andernfalls existiert das Produkt nicht. Die Dimensionen des Ergebnisses entsprechen den äußeren Dimensionen m und p.

Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören die Assoziativität (AB)C = A(BC) sowie die Distributivität über Matrixaddition: A(B+C) = AB + AC und (A+B)C = AC + BC. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: AB ist im Allgemeinen ungleich BA. Als neutrales Element dient die Einheitsmatrix I_n, so dass AI_n = I_mA = A, sofern die Dimensionen passen. Für quadratische Matrizen A gilt: Wenn A invertierbar ist, existiert eine A^{-1} mit AA^{-1} = A^{-1}A = I. Es gilt außerdem det(AB) = det(A) det(B).

Interpretation und Anwendungen: Die Multiplikation entspricht der Verkettung linearer Abbildungen; damit repräsentieren Matrizen die Zusammensetzung von Abbildungen. In der Praxis kommt Matrixmultiplikation in Gleichungssystemen, Computergrafiktransformationen, maschinellem Lernen sowie bei Markov-Ketten und vielen Algorithmen vor.