Reaaliluku

Reaaliluku on perinteinen matemaattinen käsite, joka kuuluu reaalilukujen joukkoon. Reaaliluvut kattavat sekä rationaaliluvut että irrationaaliluvut. Ne muodostavat täydellisen järjestetyn kentän, jolla on määritelty yhteenlasku ja kertolasku sekä selkeä järjestys. Reaaliluvut voidaan sijoittaa reaaliakselille, jolloin ne kuvaavat jatkuvaa numeerista linjaa.

Rakentaminen: Kaksi yleistä rakennustapaa ovat Dedekind-katkeiden ja Cauchy-sarjojen täydennyksen kautta toteutetut järjestelmät. Dedekind-katkeat jakavat rationaaliluvut kahteen osaan siten, että kaikki vasemmalla olevat luvut ovat pienempiä kuin oikealla olevat; niiden rajana voi olla reaaliluku. Cauchy-sarjojen täydennyksessä reaaliarvot määritellään raja-arvoina rationaalisille sarjoille.

Ominaisuudet: Reaaliluvut ovat tiheitä: kahden reaaliluvun väliin mahtuu aina kolmas reaali. Ne ovat järjestettyjä ja muodostavat täydellisen järjestetyn kentän: jokaiselle Cauchy-sarjalle löytyy konvergensiarvo reaali, ja jokainen raja-arvo on mukana. Reaaliluvut muodostavat lisäksi reaaliakselin eli reaali linjan, jonka pisteet vastaavat reaalilukuja.

Desimaaliesitykset: rationaaliluvut esitetään desimaalilukuina, joiden desimaalijakso päättyy tai toistaa säännöllisesti. Irrationaaliluvut eivät pääty eikä toista säännöllisesti; niiden desimaaliesitys on päättymätön ja ei-toistuva.

Sovellukset: Reaaliluvut ovat keskeisiä analyysissä, laskennassa ja sovelluksissa kuten fysiikassa, taloustieteissä ja todennäköisyyslaskennassa. Ne antavat perustan integraalilaskennalle, differentiaalilaskennalle ja monille matemaattisille todistuksille.