differentiaalilaskennalle

Differentiaalilaskenta, eli derivaatta, on matematiikan ala, joka tutkii funktioiden muutosnopeuksia. Se on keskeinen osa kalkyylia ja mahdollistaa monien ilmiöiden analysoinnin niin luonnontieteissä, tekniikassa kuin taloustieteessäkin. Derivaatan avulla voidaan määrittää esimerkiksi funktion hetkellinen kasvu- tai laskunopeus pisteessä tai tutkia funktion maksimi- ja minimikohtia.

Peruskäsite differentiaalilaskennassa on derivaatta. Funktion f(x) derivaattaa pisteessä x merkitään usein f'(x). Se kuvaa funktion kuvaajan tangenttisuoran kulmakerrointa kyseisessä pisteessä. Geometrisesti derivaatta kertoo, kuinka paljon funktion arvo muuttuu, kun muuttujan arvo muuttuu infinitesimaalisen vähän. Laskennallisesti derivaatta määritellään raja-arvona, joka kuvaa sekanttisuoran kulmakertoimen raja-arvoa, kun tarkasteltava piste lähestyy valittua pistettä.

Differentiaalilaskenta sisältää useita sääntöjä ja tekniikoita derivaattojen laskemiseksi eri tyyppisille funktioille, kuten potenssifunktioille, trigonometrisille funktioille ja eksponenttifunktioille. Nämä säännöt, kuten summasääntö, tulosääntö, osamääräsääntö ja ketjusääntö, tekevät derivaattojen laskemisesta tehokasta. Toisen ja korkeamman kertaluvun derivaatat tarjoavat lisätietoa funktion käyttäytymisestä, kuten sen kuperuudesta ja käännepisteistä. Sovellukset vaihtelevat fysiikassa nopeuden ja kiihtyvyyden laskemisesta optimointiongelmien ratkaisemiseen.