Differentiaalilaskenta

Differentiaalilaskenta on laskennan osa, joka tutkii muutosten nopeuksia. Sen keskeinen käsite on derivaatta, joka mittaa suureen muutosnopeutta ja vastaa käyrän tangentin kaltevuutta pisteessä. Derivaatan voi määritellä raja-arvona: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)]/h. Differentiaalina dy ja dx ilmaisevat pienen muutoksen lineaarisen vaikutuksen; dy ≈ f'(x) dx kuvaa näiden muutosten lineaarista suhdetta.

Differentiaalilaskennan laskentamenetelmät koostuvat määritelmissä käytettävistä säännöistä. Tärkeimmät säännöt ovat ketjusääntö sekä tulo- ja osamääräsäännöt; lisäksi käytetään implisiittistä derivointia ja joskus logaritmistä derivointia. Useammille muuttujille sovelletaan osittaisderivaattoja, gradienttia ja Jacobian-matriisia; näiden käsitteiden avulla voidaan muodostaa lineaarisia likimääräisiä kuvia ja kartoittaa muutosten suuntaa monimuuttujaisessa kontekstissa.

Sovelluksia on lukemattomasti: fysiikassa ja mekaniikassa nopeus ja kiihtyvyys sekä insinööritieteissä suunnittelun herkkyysanalyysi; taloustieteessä marginaalinen kustannus ja tulon kasvu; biologiassa kasvun ja populaation mallintaminen. Differentiaalilaskenta mahdollistaa myös Taylorin sarjoihin perustuvat approksimaatiot sekä numeeriset menetelmät, kuten Newtonin menetelmä, funktioarvojen ja ratkaisujen tarkkuuden arvioinnissa.

Historia: Differentiaalilaskenta kehittyi 1600-luvulla Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin toimesta itsenäisesti. Myöhemmin sen tiukkaa perustaa ja laajennuksia kehittivät muun muassa Cauchy, Weierstrass ja muut matemaatikot, mikä vahvisti laskennan teoreettiset periaatteet.