Randverformungsfeldern

Randverformungsfelder sind Vektorfelder, die die Verformung der Randfläche eines elastischen Körpers beschreiben. Sie geben für jeden Randpunkt an, wie dieser Punkt im Vergleich zur Referenzkonfiguration verschoben wird. Typischerweise handelt es sich um die Einschränkung eines inneren Verschiebungsfeldes u auf die Randoberfläche ∂Ω, also u Rand = u|∂Ω. Das Randverformungsfeld umfasst sowohl Beträge als auch Richtungen der Randverschiebung und kann in Normal- und Tangentialkomponenten zerlegt werden.

Mathematisch betrachtet lässt sich ein Randverformungsfeld wie folgt formulieren: Sei Ω ein Raumkörper mit Rand ∂Ω, U ein Verschiebungsfeld U: Ω → R^3 und u Rand = U|∂Ω. Man kann weiter schreiben u Rand = u_n n + u_t, wobei n der äußere Normalenvektor von ∂Ω ist, u_n die Normalverschiebung und u_t die Tangentialverschiebung entlang der Randfläche beschreibt. Das Randverformungsfeld hängt eng mit dem Randwertproblem in der Elastizität zusammen und steht in direktem Zusammenhang mit der Ausbreitung von Belastungen über die Randgrenzen.

Bezug zu Randbedingungen: Dirichte Randbedingungen legen U auf ∂Ω fest und definieren damit das Randverformungsfeld, während Neumann-Randbedingungen die auf den Rand auftreffenden Kräfte durch die Spannungen σ und den Normalenvektor n beschreiben. Veränderungen des Randverformungsfeldes beeinflussen Spannungsverteilung, Verformungsfortschritt und mögliche Kontaktprobleme.

Anwendungsgebiete: Randverformungsfelder spielen eine Rolle in der Finite-Elemente-Mimulation elastischer Körper, in der Formoptimierung, in der Kontakt- und Grenzflächenmechanik sowie in der Modellierung schalen- oder membranbasierter Strukturen. Sie dienen auch der Beschreibung von Oberflächenbewegungen in der Biomechanik und in der computergrafischen Animation.

Berechnung und Diskretisierung: In der Praxis werden Randverformungsfelder auf Oberflächen-Netzen durch Verschiebungen der Randknoten repräsentiert. Die Felder werden zeitabhängig oder stationär bestimmt, wobei die Randgeometrie regelmäßig aktualisiert oder remeshifiziert wird, um numerische Stabilität zu gewährleisten.