Ramificatiepunten

Een ramificatiepunt is een punt waarbij een kaart of morfisme niet lokaal als een gewone, één-op-één kaart optreedt. In wiskundige contexten zoals algebraïsche meetkunde, complexe analyse en topologie betekent dit dat nabij het punt de lokale beeldbedekking meerdere waarden oplevert of de differentiaal niet invertibel is. Het begrip komt veel voor bij de studie van krommen en oppervlakken en bij holomorfe functies.

Voor een map f: X → Y tussen gladde krommen (of variëteiten) is x ∈ X een ramificatiepunt als de differentiaal df_x niet volwaardig is; bij krommen betekent dit df_x = 0. Het beeld y = f(x) heet een branch point; de verzameling van zulke y noemen we de branch locus. De ramificatie- of branchpunten brengen lokale multipliciteit met zich mee.

De lokale multipliciteit, de ramificatie-index e_x ≥ 1, beschrijft de local degree. In lokale coördinaten kan men schrijven dat nabij x het beeld zich gedraagt als w = z^{e_x} met e_x > 1 voor ramificatie. Voor een morfisme van krommen geldt dat de som van e_x over alle x in f^{-1}(y) gelijk is aan de graad van f. De verzameling van y die ramificeert heet de ramificatie- of branch locus.

Voorbeeld: de complexe map f(z) = z^n heeft x = 0 als ramificatiepunt met e_0 = n; het beeld y = 0 is het ramificatiepunt in Y. Een belangrijke toepassing is de Riemann-Hurwitz-formule: 2g(X) − 2 = deg(f)·(2g(Y) − 2) + ∑(e_x − 1), waarbij de som loopt over alle ramificatiepunten x van X. Ramificatiepunten vormen daarmee een centraal begrip bij het bestuderen van de topologie en structuur van morfismen tussen variëteiten.