RVFunktion

Die RV-Funktion, kurz RVFunktion, bezeichnet in Mathematik und Statistik eine Funktion, die auf einer Zufallsvariable X definiert ist und daraus eine neue Zufallsvariable Y = f(X) erzeugt. RV steht dabei für Random Variable (Zufallsvariable). Die RV-Funktion beschreibt somit die Transformation der Wahrscheinlichkeitsstruktur von X durch f. Formal: Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung μ_X. Sei f eine messbare Abbildung von R^n nach R. Dann ist Y = f(X) ebenfalls eine Zufallsvariable, deren Verteilung die Pushforward-Verteilung von μ_X unter f ist. Erwartungswert, Varianz und weitere Momente von Y ergeben sich aus E[f(X)], Var[f(X)] usw. Falls X eine Dichte f_X besitzt und f monotone oder invertierbar ist, gilt die Transformationsregel: f_Y(y) = f_X(f^{-1}(y)) · |d/dy f^{-1}(y)|. In mehrdimensionalen Fällen erweitert sich die Formel durch die Jakobian-Matrix.

Beispiele: Y = aX + b; Y = X^2; Y = I[X>0] (Indikatorfunktion).

Anwendungen: Transformationen von Zufallsvariablen in Finanz-, Ingenieur- und Statistikmodellen, Monte-Carlo-Simulationen, Risikobewertung sowie Modellbildung.

Eigenschaften: Die RV-Funktion hängt wesentlich von der Eigenschaft der zugrunde liegenden Zufallsvariable X ab; bei komplexen Transformationen kann Y eine andere Verteilungsform annehmen (gemischte oder nicht-dichte Verteilungen). Messbarkeit von f garantiert die Existenz von Y als Zufallsvariable und ermöglicht die Berechnung von Verteilungen, Momenten und Wahrscheinlichkeiten der transformierten Größe.