Quantenoperationen

Quantenoperationen bezeichnen Transformationen von Quantenzuständen in der Quanteninformationstheorie. Sie beschreiben, wie sich ein Zustand ρ im Laufe einer Zeitentwicklung, durch Messungen oder durch Interaktion mit einer Umgebung verändert. Formal bilden sie den Kern der Beschreibung sowohl geschlossener als auch offener Quantensysteme.

Mathematisch ist eine Quantenoperation eine vollständig positive, spuren-erhaltende Abbildung Φ auf den Raum der Dichtematrizen D(H). Sie erfüllt für alle ρ mit ρ ≥ 0 die Bedingung Tr[Φ(ρ)] = Tr[ρ]. In der Kraus-Darstellung lautet sie Φ(ρ) = ∑_k E_k ρ E_k† mit der Bedingung ∑_k E_k† E_k = I. Ist Φ durch eine einzige unitäre Operation U gegeben, dann gilt Φ(ρ) = UρU†; damit ist Unitärität eine Unterklasse von Quantenoperationen.

Messprozesse werden oft durch POVMs beschrieben. Eine Messung mit Effekten M_i ≥ 0, ∑_i M_i = I liefert Wahrscheinlichkeiten p_i = Tr(M_i ρ). Nach dem Messergebnis ist der Zustand gegeben durch ρ_i' = (M_i^(1/2) ρ M_i^(1/2)) / p_i; ohne Auswertung des Ergebnisses erhält man den gemischten Zustand ρ' = ∑_i p_i ρ_i'.

Beispiele für Quantenoperationen sind unitäre Gatter wie X, H oder CNOT, sowie Rauschkanäle wie Amplituden-Dämpfung oder Depolarisierung, die als CPTP-Kanäle modelliert werden.

In der Quantenberechnung bilden solche Operationen Sequenzen von Gattern; offene Systeme erfordern CPTP-Modelle, etwa in der Quantenfehlerkorrektur. Die Choi-Jamiołkowski-Darstellung ordnet jeder Quantenoperation eine Matrix zu; Φ ist CPTP genau dann, wenn die Choi-Matrix positiv semidefinit ist und Tr_output der Choi-Matrix die Identität ergibt. Physikalisch werden Operationen durch kontrollierte Wechselwirkungen, Laser- oder Mikrowellensignale und Messungen umgesetzt; Fehler und Rauschen beeinflussen dabei die Fidelity.