Proyectivos

Proyectivos es un término utilizado en matemáticas para referirse a la geometría proyectiva y a los espacios que la modelan. Un espacio proyectivo P^n(F) sobre un cuerpo F se define como el conjunto de las clases de equivalencia de vectores no nulos de F^(n+1), donde dos vectores se consideran equivalentes si difieren por un factor escalar distinto de cero. Una clase [x0: x1: ...: xn] es una coordenada homogénea que representa un punto de P^n(F). Las subespacios lineales de F^(n+1) se interpretan como líneas, planos u otros objetos geométricos en el espacio proyectivo, y las ecuaciones lineales en coordenadas homogéneas definen sus incidencias.

Las propiedades fundamentales de los espacios proyectivos incluyen la existencia de una coordenada homogénea para cada punto y la invariancia de las estructuras bajo transformaciones lineales. Las transformaciones proyectivas, dadas por matrices invertibles, actúan como automorfismos del espacio y forman el grupo PGL(n+1, F). Estas transformaciones preservan las relaciones de incidencia entre puntos y subespacios.

Ejemplos comunes son el plano proyectivo P^2(F) y la recta proyectiva P^1(F). Cuando F es el cuerpo de los reales o los complejos, se obtienen planos y líneas con geometría correspondiente; si F es un cuerpo finito, se obtienen planos proyectivos finitos PG(n, q). En geometría algebraica, las variedades proyectivas se definen por ecuaciones homogéneas en P^n, lo que facilita el estudio de sus propiedades globales y su compactificación.

Aplicaciones típicas incluyen la representación homogénea de puntos y líneas en gráficos por computadora, la proyección en visión por computadora y la compactificación de variedades en algebraic geometry, donde la estructura proyectiva facilita el manejo de objetos en espacio "a lo infinito".