Prognoseintervalle

Prognoseintervalle sind in der Statistik Bereiche, die einen zukünftigen Einzelwert y0 einer Beobachtung, die unter dem gegebenen Modell vorhergesagt wird, mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit einschließen sollen. Sie berücksichtigen sowohl die Unsicherheit der Modellschätzung als auch die Varianz der Messung.

Im Gegensatz dazu dient ein Konfidenzintervall (für den Erwartungswert) dazu, den unbekannten Mittelwert der Verteilung der Reaktion abzuschätzen, nicht aber einen einzelnen zukünftigen Messwert; Prognoseintervalle sind in der Regel breiter.

In der linearen Regression lässt sich das 95%-Prognoseintervall für eine neue Beobachtung y0 bei x0 folgendermaßen formulieren: y0 ≈ ŷ0 ± t_{0,025, n-p} · s · sqrt(1 + h0). Hier ist ŷ0 der vorhergesagte Mittelwert, s die geschätzte Standardabweichung der Residuen, und h0 der Hebelwert (diagonales Element der Hat-Matrix am Ort x0).

Für Zeitreihen oder andere Modelle gilt: Prognoseintervalle berücksichtigen zusätzlich zur Modellunsicherheit oft die Verteilung der Fehler. Je größer die Unsicherheit, desto breiter das Intervall; bei großen Stichproben nähert sich der Faktor t dem z-Wert.

Interpretation: Die Frequentistische Interpretation lautet, dass bei vielen unabhängigen Wiederholungen der Stichprobe in ungefähr 1-α der zukünftigen Einzelbeobachtungen der Wert in dem Intervall liegen wird.

Anwendungen und Einschränkungen: Prognoseintervalle finden Anwendung in Wissenschaft, Medizin und Ingenieurwesen; sie setzen korrekt spezifizierte Modelle voraus. Nicht- normale oder heteroskedastische Fehler, Modellmisspecification und extrapolierte Vorhersagen können Intervalle verzerren.