Pfadnormalisierung

Pfadnormalisierung bezeichnet in der Mathematik und verwandten Disziplinen Verfahren, Pfade so zu verändern oder zu gewichten, dass bestimmte Normalisierungsbedingungen erfüllt sind. Ziel ist oft, Pfade unabhängig von ihrer Parametrisierung zu vergleichen oder Wahrscheinlichkeits- bzw. Gewichtungsformeln konsistent anzuwenden.

Geometrisch versteht man oft unter Pfadnormalisierung die Umparametrisierung einer Kurve γ: [a,b] → R^n zu einer Bahn γ̂ mit konstanter Geschwindigkeit (Bogenlänge). Man defini s(t) = ∫_{t0}^t ||γ'(u)|| du; falls s(t) invertierbar ist, erhält man γ̂(s) = γ(t(s)) mit ||dγ̂/ds|| = 1. Das macht Vergleiche von Pfaden robust gegenüber der Wahl des Parameters.

Diskrete Pfade, etwa Sequenzen von Punkten, werden durch Resampling normalisiert: Man berechnet die kumulative Weglänge und wählt neue Stützstellen in regelmäßigen Abständen, sodass die Abstände gleich verteilt sind. So lassen sich Pfade vergleichbar machen oder in Animationen stabil ablaufen.

In der Wahrscheinlichkeit und der Theorie der Pfadintegrale dient Pfadnormalisierung dazu, Pfadgewichte so zu skalieren, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung entsteht. Ist w(p) das Gewicht eines Pfads p, dann ist die normalisierte Wahrscheinlichkeit P(p) = w(p) / Z, wobei Z = ∑_p w(p) bzw. Z = ∫ dp w(p). In der Quanten- oder Statistischen Physik wird Z als Partition Function bezeichnet.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik, Robotik, Optimierung, Signalverarbeitung und Physik; gängige Varianten umfassen arc-length-Parameterisierung, Resampling-Strategien und Metriken, die Pfade unabhängig von der Parametrisierung vergleichen.