Pendelschwingung

Eine Pendelschwingung bezeichnet die periodische Rück- und Vorwärtsbewegung eines Pendels, das aus einer Masse besteht, die an einem Faden oder einer Stange hängt und durch die Schwerkraft angetrieben wird. Man unterscheidet den einfachen Pendel, bei dem Masse und Aufhängepunkt nah beieinanderliegen, vom physikalischen Pendel, bei dem das Trägheitsmoment der Masse eine Rolle spielt.

Der einfache Pendel schwingt bei kleinen Ausschlägen θ nach der Gleichung θ'' + (g/L) θ = 0, wobei L die Pendellänge ist. Daraus folgt die Frequenz ω = √(g/L) und die Periode T = 2π√(L/g). Die Periode hängt damit nur von Länge L und Gravitationsbeschleunigung g ab, unabhängig von der Masse.

Bei größeren Ausschlägen weicht die Lösung von der kleinen-Angle-Approximation ab, und die Periode hängt von der Amplitude θ0 ab. Die exakte Periodenformel lautet T = 4√(L/g) ∫_0^{π/2} dφ / √(1 - sin^2(θ0/2) sin^2 φ). Die Periode steigt mit zunehmendem Ausschlag.

Für ein physikalisches Pendel, also einen starren Körper mit Trägheitsmoment I um den Drehpunkt und Abstand d vom Schwerpunkt zur Aufhängung, gilt bei kleinen Winkeln T = 2π√(I/(m g d)). Hier bestimmen Form und Massenverteilung die Schwingung.

Dämpfung durch Luftwiderstand oder Reibung führt zu einer abklingenden Pendelschwingung. Die Gleichung lautet θ'' + (b/I) θ' + (m g d / I) sin θ = 0, wobei b der Dämpfungskoeffizient ist. Wird eine äußere periodische Anregung angewendet, z. B. eine Kraft F0 cos(ωt), kann der Pendel als treibendes System auftreten. Pendelschwingungen finden Anwendung in Uhren, zur Messung von g, in der Seismologie und in Schulversuchen.