Massenverteilung

Massenverteilung beschreibt, wie Masse physikalischer Objekte oder Regionen räumlich angeordnet ist. Sie kann als kontinuierliche Verteilung durch eine Massen-Dichte ρ(x, y, z) beschrieben werden oder als diskrete Verteilung aus einzelnen Massenpunkten m_i an Positionen r_i. Die Beschreibung der Massenverteilung ist grundlegend für Gravitation, Statik, Hydrodynamik und Trägheitsmomente.

Für ein Volumen V gilt dm = ρ(r) dV; die Gesamtheit der Massen ergibt M = ∫_V ρ(r) dV. Der Schwerpunkt (Zentrum der Masse) R_cm ist definiert durch R_cm = (1/M) ∫ r ρ(r) dV. Bei symmetrischen oder homogenen Verteilungen vereinfacht sich die Berechnung; bei einer konstanten Dichte ist M = ρ V und der Schwerpunkt liegt im geometrischen Mittelpunkt des Volumens.

Für diskrete Massenpunkte gilt M = Σ_i m_i, und der Schwerpunkt R_cm = (1/M) Σ_i m_i r_i; das Trägheitsmoment um eine Achse ergibt sich als I = Σ_i m_i |r_i − R_cm|^2 (diskrete Form). Häufige Modelle sind die homogene Kugel, der zylindrische Körper und eine homogeno Scheibe; zur Veranschaulichung: Eine homogene Kugel mit Radius R und Dichte ρ hat M = (4/3)πρR^3 und Trägheitsmoment I = (2/5)MR^2; eine homogene Scheibe hat I = (1/2)MR^2 für eine Achse durch den Mittelpunkt.

Anwendungsgebiete erstrecken sich von Bauingenieurwesen, Geophysik und Astrophysik bis zur Materialkunde. Messungen und Modelle der Massenverteilung erfolgen durch Experimente, bildgebende Verfahren (z. B. CT, Seismik) und numerische Simulationen, um Gravitation, Stabilität, Wärme- und Materialfluss zu verstehen.