Parameterverteilungen

Parameterverteilungen bezeichnet die Zufallsverteilungen, die für Parameter in statistischen Modellen angenommen werden. In der Bayesschen Statistik werden wirksame Parameter nicht als feste Werte, sondern als Zufallsvariablen behandelt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Prior- und Posteriorverteilungen) die Unsicherheit des Parameters beschreiben. Im Gegensatz dazu bezieht die frequentistische Sicht die Parameter als unbekannte, aber feststehende Größen. Beim Schätzen von Parametersätzen wird deshalb häufig eine Priorverteilung eingesetzt, die durch Fachwissen oder Voruntersuchungen bestimmt wird. Nach Beobachtung der Daten wird die Prior mit der Likelihood kombiniert und mit Hilfe des Bayesschen Theorems in die Posteriorverteilung überführt, die die neue Korrelation zwischen Daten und Parameter wiedergibt.

Parameterverteilungen finden breite Anwendung in der ökonomischen Modellierung, epidemiologischer Prognose, Biostatistik und ingenieurwissenschaftlichen Optimierungsprozessen. Dort werden seitprende Verteilungen wie die Normal-, Exponential- oder Gamma-Verteilung beziehungsweise maßgeschneiderte Verteilungen gewählt, die die physikalische Natur des Parameters widerspiegeln. Ein häufiges Beispiel ist die Modellierung von Lebensdauern mittels exponentieller oder Weibull-Verteilung, bei denen die Rate bzw. der Skalenparameter als Zufallsvariable behandelt werden.

Die Auswahl und Schätzung einer Parameterverteilung kann durch Maximum-Likelihood, Momentenmethode oder Markov-Chain-Monte-Carlo‑Simulation erfolgen. Oft werden dafür revurderte Quantile geprüft und posterior predictive checks durchgeführt, um die Angemessenheit der gewählten Verteilung zu beurteilen. Rechtzeitige Prüfung der Parameterverteilung reduziert die Modellvorhersagefehler und bietet solide Grundlagen für Risikoanalyse und Entscheidungsunterstützung.