PIDFormulierungen

PIDFormulierungen bezeichnet eine Gruppe von mathematischen Formulierungen zur Implementierung von PID-Reglern (Proportional-Integral-Derivative). Sie dienen dazu, das Verhalten eines Regelkreises durch die drei Regleranteile P, I und D zu beschreiben und zu steuern. Je nach Anwendung, Implementierungsart (analog oder digital) und bevorzugter Repräsentation existieren verschiedene, äquivalente Formen.

Im Kontinuierlichen gilt die Standardform: u(t) = Kp e(t) + Ki ∫ e(τ) dτ + Kd de/dt, wobei e(t) die Regeldifferenz r(t) − y(t) ist. Häufige Varianten sind die parallele Form mit direkten Koeffizienten Kp, Ki, Kd und die Serienform, bei der der Regler als Kp [1 + 1/(Ti s) + Td s] in der Transferfunktion dargestellt wird. Die Parameter Ki und Kd werden oft über Ti (Integrationszeit) und Td (Differenzzeit) definiert, wobei Ki = Kp / Ti und Kd = Kp Td gilt. Zur Verringerung des Rauschens wird der Derivativanteil häufig gefiltert.

In digitalen Reglern wird PID typischerweise diskret implementiert. Eine gängige Diskretisierung verwendet eine Abtastzeit Ts: e[k] = r[k] − y[k], u[k] = Kp e[k] + Ki Ts ∑ e[i] (bis k) + Kd (e[k] − e[k−1])/Ts. Der Derivateanteil wird oft durch einen Tiefpassfilter stabilisiert, und Integratorwind-up wird durch Anti-Windup-Maßnahmen verhindert.

Formulierungen unterscheiden sich zudem in Namenskonventionen und Implementierungsdetails, etwa ob der Derivative-Anteil auf den Fehler oder direkt auf Messgrößen bezogen wird und welche Filter oder Grenzwerte genutzt werden.

Anwendungen finden sich in der Prozessregelung, der Antriebssteuerung, Robotik und allgemeinen Automatisierungstechnik. Die Wahl der PID-Formulierung beeinflusst Stabilität, Ansprechverhalten und Robustheit des Reglers.