Oberkategorien

Oberkategorien, auch Überkategorien genannt, sind eine Konstruktion der Kategoriearbeit, die Objekte zusammenfasst, die durch eine feste Morphismusquelle in einer Kategorie C gekennzeichnet sind. Gegeben sei ein Objekt A in C. Die Oberkategorie A↓C hat Objekte in Form von Morphismen f: A → B in C. Die Morphismen von f: A → B zu g: A → C sind Pfeile h: B → C in C mit der Eigenschaft h ∘ f = g. Der Projektionserfolg p: A↓C → C, p(f: A → B) = B, ordnet dem Objekt in der Oberkategorie sein Ziel zu.

Als Gegenstück existiert die Dual- oder Unterkategorie C↓A, deren Objekte Morphismen B → A sind. Ober- und Unterkategorien ergeben zusammen aus dem allgemeineren Rahmen der Comma-Kategorien, wobei A↓C als spezieller Fall des Comma-Kategorie-Konstrukts angesehen wird.

Beispiele verdeutlichen die Idee. In der Kategorie Set gilt: Wenn A der leere Mengenraum ∅ ist, ist ∅↓Set isomorph zu Set, da jeder Funktor ∅ → B die eindeutige Zuordnung hervorruft. Für A = 1 (einheitsmenge), werden Objekte zu Funktoren 1 → B, also zu einer ausgewählten Elementen-Bemerkung in B; so ergibt sich die Kategorie der Punktmengen (punktierte Mengen) mit entsprechenden Morphismen. Allgemein bestehen Objekte der Oberkategorie aus einer Zielmenge B mitsamt einer festgelegten Abbildung von A nach B.

Eigenschaften: Oberkategorien existieren, wenn C Limiten bzw. Kollimiten besitzt, und viele Strukturen der Kategorie C lassen sich durch die Oberkategorie rekonstruieren. Sie dienen dazu, Familien von Objekten parameterisiert durch A zu modellieren, was etwa in gefassten Kategorien, der Sheaf-Theorie und der Homotopietheorie eine zentrale Rolle spielt.

---