NyquistShannonAbtastsatz

Der Nyquist-Shannon-Abtastsatz, oft als Nyquist-Shannon-Abtasttheorem bezeichnet, ist ein zentrales Prinzip der digitalen Signalverarbeitung. Er besagt, dass ein kontinuierliches Signal, das zeitlich bandbegrenzte Frequenzen besitzt, vollständig aus seinen Abtastwerten rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch ist wie die höchste Frequenz des Signals (Nyquist-Rate).

Voraussetzungen sind eine Bandbegrenzung des Signals und eine geeignete Vorfilterung. Vor dem Abtasten wird das Signal idealerweise durch ein Anti-Aliasing-Filter auf B Hz beschränkt, sodass nur Frequenzen unterhalb von B beteiligt sind. Die Abtastung erfolgt mit einer Frequenz fs = 1/T, wobei T der Abtastabstand ist und fs ≥ 2B.

Aussage des Satzes ist, dass die Abtastwerte x[n] = x(nT) mit T = 1/fs bei ausreichender Abtastrate exakt rekonstruiert werden können. Die klassische Rekonstruktion erfolgt durch eine ideale Tiefpassfilterung oder durch die Sinc-Interpolation: x_recon(t) = sum_{n=-∞}^{∞} x[n] sinc((t − nT)/T). Unter idealen Bedingungen entspricht das rekonstruierte Signal dem Original.

Wichtige Folgen sind das Vermeiden von Aliasing bei fs ≥ 2B und die Notwendigkeit praktikabler Rekonstruktionsfilter, die oft nicht ideal sind. In der Praxis spielen Quantisierung, Rauschen und endliche Signallaufzeiten eine Rolle.

Historisch ist der Satz nach Harry Nyquist und Claude E. Shannon benannt; Nyquist legte das Abtastprinzip in der Telemetrie fest, Shannon popularisierte es in der Informations- und Sampling-Theorie. Varianten umfassen nichtnormales bzw. nichtuniformes Sampling sowie stochastische Versionen für Prozesse.