Normalfördelad

Normalfördelning, eller Gauss-fördelning, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som kännetecknas av en kupolformad, symmetrisk kurva kring medelvärdet. Den beskrivs av två parametrar: medelvärde μ och standardavvikelse σ. Sannolikhetstäthetsfunktionen är f(x; μ, σ) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x−μ)^2 /(2σ^2)). Om X har denna fördelning kan man standardisera: Z = (X−μ)/σ, där Z är standardnormal med μ=0 och σ=1 och pdf: φ(z) = (1/√(2π)) exp(-z^2/2). CDF:n, Φ(z) = ∫_{-∞}^z φ(t) dt, saknar enklare sluten form och beräknas vanligtvis numeriskt.

Egenskaper: normalfördelningen är exakt symmetrisk runt μ och har en enda topp vid μ. Den har oändliga svansar som närmar sig noll men aldrig uppnår den. Den är helt och hållet beskriven av μ och σ: E[X] = μ och Var(X) = σ^2. Skewness är 0 och kurtosis är 3.

Betydelse och användning: många naturliga fenomen uppvisar approximativ normalfördelning när de domineras av många små, oberoende bidrag, enligt centralgränssatsen. Normalfördelningen utgör grunden för många statistiska metoder, inklusive konfidensintervall, hypotesprövning, regression och felanalys, där residualerna ofta antas vara normalfördelade.

Praktisk användning och uppskattning: μ och σ skattas vanligen med urvalsmedelvärde och urvalets standardavvikelse. Om data inte uppfyller normalitet används ofta transformeringar eller beräknas inferens med icke-parametriska metoder. Diagnoser av normalitet kan göras med tester som Shapiro–Wilk eller Kolmogorov–Smirnov.