Nichtnegativitätsbeschränkungen

Nichtnegativität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft eines Objekts, nicht negativ zu sein, das heißt mindestens Null zu erreichen. Sie tritt bei Zahlen, Funktionen, Matrizen und anderen Strukturen auf.

Bei reellen Zahlen bedeutet x ≥ 0. Die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen wird oft mit R≥0 oder [0, ∞) bezeichnet. Eine Funktion f: X → R heißt nichtnegativ, wenn f(x) ≥ 0 für alle x ∈ X gilt. Das Integral über nichtnegative Funktionswerte ist ebenfalls nicht negativ: ∫ f ≥ 0, sofern Konvergenz vorhanden ist.

Bei Matrizen unterscheidet man zwei Sinnrichtungen. Elementweise Nichtnegativität bedeutet, dass alle Einträge ≥ 0 sind. Eine Matrix M heißt positiv semidefinit (PSD), wenn x^T M x ≥ 0 für alle Vektoren x. Diese Eigenschaft ist eine Form der Nichtnegativität, sie verlangt nicht zwingend, dass alle Einträge positiv sind.

Wichtige Eigenschaften: Nichtnegativität ist abgeschlossen unter Addition und unter Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren. Das Produkt zweier Nichtnegativzahlen ist nicht negativ; bei Funktionen gilt: f ≥ 0 und g ≥ 0 ⇒ f + g ≥ 0; Produkt f·g ≥ 0.

Anwendungen finden sich in der Optimierung (Nichtnegativitätsbedingungen), Wahrscheinlichkeitsrechnung (nichtnegative Zufallsvariablen), Analysis (Integrale von Nichtnegativfunktionen) und linearer Algebra (nichtnegative Matrizen, Positive Semidefinitheit).