NewtonRaphsonmetoder

NewtonRaphsonmetoder, også kjent som Newtons metode, er en klassisk numerisk teknikk for å finne røtter til en funksjon f: R → R. Metoden bygger på linearisering ved hvert punkt: ved x_n brukes tangenten til grafen til f ved x_n til å tilnærme en roten. Gjennom oppdateringen x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) søker metoden å konvergere mot en løsning av f(x) = 0.

For flerdimensjonale problemer generaliseres metoden til x_{n+1} = x_n - J_f(x_n)^{-1} f(x_n), der f: R^m → R^m og J_f er Jacobianen til f. Det kreves at J_f er invertibel i nærheten av roten og at f er tilstrekkelig differentiell.

Konvergensen avhenger av at startgjetningen er nært roten og at f er differentiell med ikke-null derivert (for univariate fall). Når forutsetningene er oppfylt, har metoden ofte kvadratisk konvergens, dvs. feilen reduseres kvadratisk per iterasjon. Hvis roten har multiplikitet større enn 1, eller hvis f' er nær null, kan konvergensen være langsommere eller metoden kan mislykkes uten modifikasjoner.

Praktisk gjennomføring: velg en startverdi x0, gjenta: evaluer f(x_n) og f'(x_n) (eller J_f for multivariant), oppdater x_{n+1}, og stopp når |f(x_n)| < tol eller |x_{n+1}-x_n| < tol eller et annet kriterium.

Historie og anvendelser: metoden ble utviklet uavhengig av Isaac Newton og Joseph Raphson på 1600-tallet og er i dag mye brukt til løsning av ikke-lineære ligninger, optimering og numerisk analyse i ingeniør- og vitenskapsfag.