multiplikitet

Multiplikitet, eller multiplicity på engelsk, er et matematisk begrep som beskriver hvor mange ganger en bestemt verdi opptrer som løsning i ulike sammenhenger, spesielt som røttene til polynomer eller som egenverdier til matriser. Begrepet brukes også i andre områder som geometri og analyse, hvor det refererer til antall ganger en verdi eller løsning teller med i en мультипlikitet.

I polynomteori defineres multiplicitet for en røtt a av et polynom f(x) som den største heltalls-koppen k slik at (x − a)^k deler f(x) uten rest. For eksempel har f(x) = (x − 2)^3(x + 1)^2 røttene 2 med multiplicitet 3 og −1 med multiplicitet 2. Multiplikiteten forteller hvor “sterkt” roten opptrer i polynomet, og summerer sammen til den totale graden av polynomet.

I lineær algebra gjelder multiplicitet for egenverdier. Den algebraiske multipliciteten til en egenverdi λ av en matrise A er antallet ganger λ opptre som en rot av kjennetegningspolynomet detektiv det(A − λI) = 0. Geometrisk multiplicitet er derimot dimensjonen til eiendlikeutrommene (kernerommet til A − λI). For en n×n-matrise er summen av algebraiske multiplicitetene til alle eigenverdiene lik n, og geometrisk multiplicitet er alltid mindre eller lik den algebraiske multipliciteten for hver eigenverdi.

I tillegg blir begrepet brukt for avgrensninger i kurvegøring (interseksjonsmultiplikitet) og for å beskrive ordningen til en null i analyse. Multiplikitet er en intuitiv måling av “gjentakelse” av en løsning i tilknytning til et gitt problem, og kan ofte bestemmes ved faktoriserings- eller derivatortester.

Se også: polynom, egenverdier, kjennetegningspolynom, geometrisk multiplicitet, kurveinterseksjon.